阿基米德折弦定理(第一篇)

1、邹生书数学2021年第三季度最受读者欢迎的46篇解题文章

2、20191018—20200424最受读者欢迎的101篇文章链接

3、山东沂源县徐家庄中心学校左效平

4、折弦角：有公共端点的圆的两条弦组成的角；公共的端点叫做折点，两条弦叫做折弦角的两边.有了这个概念，就可以用文字叙述两个推论：

5、推论1：折弦角两边之积等于非折点弧中点和折点连线与非折点弧中点和非折点连线的平方差.

6、设ABC边角为2a,2b,2c;2x,2y,2z;

7、关于这类线段关系类的证明题，我们可以从“截长补短”和“全等”的方向来探索方法解决问题。

8、有想找我约课的赶紧联系我，抢占黄金时间段。

9、如图，在⊙O中，点E是弧AC的中点，点B为弧AE上任意一点，ED⊥BE，垂足为D，则AB+BD=CD.

10、阿基米德非常重视试验，一生设计、制造了许多仪器和机械，值得一提的有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。

11、投稿邮箱：zoushengshu@1com；

12、如右图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

13、大家数学平台是为广大学习和研究数学的师生及数学爱好者所建，欢迎广大致力于数学研究发展的朋友加入，我们可以就试题编制，试题解析，教育教学，数学授课，经验总结，答疑解惑等等有关数学的教育理念和思想展开讨论，使进入到大家数学的朋友都有收获！

14、王安平——反函数法再解“指对不等式”恒成立问题

15、∴AD+DE=BF+FE

16、折弦定理内容：如图，ADB是圆O的一条折弦，C是弧AB的中点，CE⊥BD那么AD+DE=BE证明：在BD上截取BF=AD，连接CD，CF，BC∵C是弧AB的中点∴CA=CB∵∠CAD=∠CBD∴△ACD≌△BCF∴CD=CF∵CE⊥BD∴DE=FE∴AD+DE=BF+FE即AD+DE=BE

17、"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC。

18、如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中点，MD⊥AB，垂点为D。则AD=BD+BC。

19、∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,

20、实验结果： 杠杆恢复平衡，证明浸入液体里有物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开液体受到的重力。阿基米德原理得到验证。

阿基米德折弦定理(第二篇)

1、若两线重合或平行，则结果成立；

2、杨俊等——实数比大小压轴选择题解法研讨

3、杨俊——对抛物线内接三角形外接圆半径最小值问题的深度研究

4、阿基米德定律是流体静力学的一个重要原理，它指出，浸入静止流体中的物体受到一个浮力，其大小等于该物体所排开的流体重量，方向竖直向上并通过所排开流体的形心。

5、则IMD共线且为直径，AI为∠BAC外角平分线，

6、∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

7、他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。

8、点评：这是折弦定理在圆内接等边三角形中的具体应用，这种证明方法，让截长或补短等繁琐的证明得以简化，加速了证明的进程，使得定理及其推论展现了解题的重要性，彰显了定理的重要性，特别是灵活运用等边三角形的性质，确定折弦在弧或对弧的中点，成为破解问题的关键.

9、彭光焰——巧构造妙解题

10、如图，在CD上截取DG=DB，

11、叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。

12、阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。

13、∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

14、平面几何中圆的下述性质：“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”和圆的弦相同，折弦也对着两条弧，折弦也有自己的性质,即"阿基米德折弦定理".

15、刘耀忠——对二次函数拟合问题的一点思考

16、解答一道令人蒙圈的含参分段复合函数零点试题

17、∵∠MBC+∠MBF=180°

18、3) 使杠杆左边小杯下的石头随杠杆下降，慢慢浸入置于水平面上的溢水杯中，至石头恰好完全浸没。注意石头不碰壁不碰底。

19、结论②：AC－BC＝2CD

20、在论浮体中、他论证了浮体定律。

阿基米德折弦定理(第三篇)

1、∵∠MAB=∠MCB，

2、∵MB=MB,BF=BA

3、新教材一道易错零点问题的纠错分析

4、埃拉托色尼博学多才，尤其在地理学方面作出了卓越的贡献。他著有《地理学》一书，奠定了普通地理学的科学体系。他主张地圆说，根据埃及南北两地日倾角的差数，计算出地球的圆周长度为6000米，即690公里，与实际值(约008公里)十分接近。他还推测从西班牙绕过非洲南端，可能航行到印度(这一设想直至1700多年以后才得以实现)。

5、这样日食和月食就可以生动的表现出来了。

6、(说明)这个问题还有一些其他的处理方法，大家可以进一步研究一下.

7、∵四边形ABEC为⊙O内接四边形，

8、又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,

9、阿基米德折弦‍定理及其逆定理以前听说过也见过。

10、今天专门把阿基米德折弦定理拿出来，供老师和学生们学习研究

11、"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC。从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。平面几何中圆的下述性质：“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”和圆的弦相同，折弦也对着两条弧，折弦也有自己的性质,即"阿基米德折弦定理".

12、当然定理的证明方法还有很多，感兴趣的读者可以完善.下面走进证后的思考.

13、邓启龙——三角形中与角有关的几个等式

14、刘海涛——八省联考数列题的多解、溯源及通法总结

15、则∠XBE=∠XNE=∠DNC=∠DAC=∠DAB,

16、如图，ADB是圆O的一条折弦，C是弧AB的中点，CE⊥BD

17、其实上述问题证明的错误与(1)类似：作图出了问题！做出正确的图形以后可以发现，如下图所示，点P在直线AB上方、直线CD右方，即△ABP与△DCP同向(即都是顺时针分布，而图中ABP为逆时针，DCP为顺时针分布)，所以上述证明过程都没有问题，但是在正确的图形中由∠BAP=∠CDP及∠PAD=∠PDA推不出∠BAD=∠CDA！

18、所以三角形max相似于三角形mby

19、邹生书数学2021年第二季度最受读者欢迎的56篇解题文章

20、如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，

阿基米德折弦定理(第四篇)

1、即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.

2、阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。

3、说到阿基米德，以及他的定理，我们可能最先会想到浮力中的阿基米德定律．但作为一位在多个领域都有过伟大成就的人，他研究的数学定理也显然不是盖的．如果你看到一条圆中之弦，它所对的弧上取了个中点，你会毫不犹豫地使用垂径定理．但如果一条折弦所对的弧上取了个中点，又该怎么办？(Tip：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该圆的一条折弦．)这时候就该请出高端大气上档次的阿基米德折弦定理了．今天，我们尝试用多种方法对其进行证明．

4、∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.

5、结论①：AD＝DC＋BC

6、另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍，又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之这个定理就刻在他的墓碑上。

7、(BF+CF)/AC不会改变这个定理的内容是阿基米德折弦定理，内容和这个差不多你只要连接BE和CE，作EM垂直AC于点M然后证明△AEM和△BEF全等就可以了这样会得到结论AF=BF所以BF+CF=AM+CM所以(BF+CF)/AC=保持不变。

8、∴∠EBC=∠EAC，

9、贺凤梅：一道求最小值问题的8种解法

10、即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

11、又∠MGB=∠MCB+∠GMC

12、鸡爪定理博大精深、深不可测，我写着写着发现内容真多，就算除去稍远的内容，也至少能写够“降龙十八爪”，但是因为我习惯于做完题以后再对其进行归类，这样就导致有些解决的问题其实不是鸡爪定理的问题。这两天做的几个问题都和阿基米德折弦定理有关，所以准备先写上几篇与其相关的文章。

13、由角平分线定理得CK=2ab/(b+c),

14、故XB//AD//NM,

15、他在研究机械的过程中，发现了杠杆原理，并利用这一原理设计制造了许多机械。

16、∴Rt△MHB≌Rt△MDB，

17、邹生书——椭圆参数方程详解2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试第11题

18、我这几年有印象的是在湖北黄东坡先生编写的新思维上面看到的。

19、阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。

20、因为m是它的外接圆上包含点c的弧ab的中点

阿基米德折弦定理(第五篇)

1、如图，延长DB至F，使BF=BA,

2、阿基米德有许多发现，其中最著名的要算浮力定律——阿基米德定律了。

3、邹生书——含绝对值的对数不等式的四种解法

4、商务联系：132972281

5、∵M是弧ABC的中点，

6、∴∠MDC=90°=∠H.

7、∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.

8、点评：解答时，抓住三个关键，一是证明BM是角的平分线，二是两次使用HL证明直角三角形的全等，三是熟练运用线段的和和等量代换性质，这些都是需要熟练掌握，并能灵活运用.

9、杨俊——加权将军饮马问题的多种解法

10、山东沂源县张家坡中心学校张明忠

11、垂径定理的原命题是“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，我们首先从它的诸多逆命题中找出一个：“过弦所对的弧的中点向弦做垂线，则该垂线也平分弦”。本来平平无奇，但是阿基米德从中看出了玄机，提出：如果条件中的弦被折成两段，即直线段AB变成折线段ACB，结果是否不变？这就是著名的“阿基米德折弦定理”：

12、从一个问题的证明谈起(J)，金磊，中等数学2010(3)天津师大出版社

13、弦之定理，第三边平方，等于下等式，双边平方和，余弦乘双边，还有2倍之。弦切角定理，圆周角相等。切线和内弦，构成弦切角。相交弦定理，两弦交圆中。交点分两段，相乘皆相等。

14、邹生书：一题多构殊途同归不等式与方程齐飞

15、截取AB=DC，连接BC，做AD、BC中垂线，

16、如图，在CD上截取DG=DB

17、刘耀忠——利用反函数解一类指对方程与不等式问题

18、∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,

19、邹生书——构造函数解三个实数比大小压轴选择题

20、大家有什么意见也可以提。