罗素悖论引发了数学的第三次危机(1)

1、突破口也许最先出现在称之为应用逻辑的带社会科学性质的学科中。悖论一般分逻辑悖论和语义悖论两大类，最古老的说谎者悖论就是一个语义悖论，从这一大类悖论出发，又可以把第四次数学危机“转嫁”到更多的学科中去。从自然科学到社会科学直至人文科学，人类会多角度、多层次地看清悖论这个深邃、迷人的思维的黑洞，那时，各种各样千奇百怪的不同悖论将会在本质上呈现出如虫洞一般的共通之处。那时我们也许会觉得，悖论这个纠缠人类千百年的幽灵，不管怎样千变万化，曾经有过面目狰狞，最终复归的本相还是一个善良可爱的精灵。

2、这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条(万物皆为数)，也冲击了当时希腊人的传统见解。当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉舟身亡的惩处。

3、同学们有更多兴趣的可以留言提问

4、可是，罗素让数学的基础动摇了，这就是数学史上著名的第三次数学危机。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了几十年得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

5、最近，京西旅馆迎来了一位理发师(男)，他宣称：“本人理发技艺在小镇上是数一数二的，如今，我来到京西旅馆暂住，为感谢刘老板的热情款待，我将为本旅馆所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子！”

6、1908年，策梅罗(ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。

7、罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。之后罗素提出问题：S是否属于S呢？根据逻辑学上的排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

8、第37卷第6期，2016：

9、一条线段和一条直线上的点一样多？90%的学霸都不会证明

10、分析教材不仅要理清教材内容的逻辑结构，更要分析出对数学学科具有重要影响且处于主干地位、对学生数学认知结构具有不可或缺的基础作用的核心内容以及核心内容的内容核心，还要分析出内容本身所蕴涵的数学思想方法。

11、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

12、阿里120页PPT诠释国家“智能+”战略

13、要讲明这场危机，首先要讲明科学中称之为还原论的一种观点，有时也称化归主义。借助数理逻辑的符号化形式化方法，它把一个公理演绎系统化归为另一个公理演绎系统，通过建立模型使一个系统的协调性归结为另一个系统的协调性，这样，证明了后者的协调性也就证明了前者的协调性。由于众多数学家的先后努力，几何化归到了代数(通过解析几何)，代数、分析等又化归到了集合论。推而广之，其他学科如物理、化学、生物也可以化归到数学上。现在整座数学大厦都建筑在集合论的基础上。如果证明了集合论的协调性，那么，数学整体的协调一致也就达到了。

14、局部可读性与推理工具的关系

15、1917年，罗素45岁，写出了《政治理想》、《无政府主义与公团主义》、《为什么人会打仗》。

16、1915年，罗素43岁，向曼彻斯特哲学协会讲演“物质的基本要素”。罗素仍然在布道。

17、我们先来看一个错误使用反证法的例子。

18、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。相关的改进工作时至今日也为停下脚步。

19、1927年，55岁的罗素想到了创业，在彼得斯菲尔德附近的塔山开办学校，自任校长，夫人多拉任女校长。

20、阿基里斯悖论：此悖论同样以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，以每次阿基里斯跑到乌龟的上一个位置的这段路程为一个循环作为一个“芝诺时”来衡量的话，“芝诺时”较正常时间越来越少，而这些越来越少的无穷个时间加起来是有限的，并不是无穷

罗素悖论引发了数学的第三次危机(2)

1、这就是著名的“理发师悖论”，在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。

2、(3)圆规可以开至无限度宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开你之前构造过的长度。

3、到了十九世纪，先后有众多杰出的数学家为微积分学的奠基工作而努力。

4、(解析)第三次数学危机为数学罗素悖论的产生。第三次数学危机引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。到现在，从整体来看，第三次数，学危机还没有解决到令人满意的程度。

5、沉痛！中国半导体”芯酸“史！

6、第微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。

7、费马—独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这也是早期微积分的雏形。

8、 第二次数学危机：十八世纪关于微积分发生的激烈的争论。

9、随机思想发展的历史

10、二分法悖论：二分法以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，不断取1/直至取至无穷小量.但将无穷小量视为0，运动者就会寸步难行.

11、集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。

12、康托尔建立了集合论，弥补了柯西极限论的逻辑缺欠，使整个数学几乎都可以在集合论的基础上建立起来然而，随着研究的深入，集合论的漏洞也逐渐浮现.1897年，罗素提出，任意一个集合A，有以下两种情况：①AA，②AA；现有这样一个集合Q=，它属于哪一类？人们发现，Q是①当且仅当Q是②，是为悖论.罗素悖论的提出赫然指出康托尔集合论的致命缺漏，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.罗素悖论无非是芝诺悖论的引伸.因为其中包含的潜在无限与实在无限的矛盾乃是芝诺悖论的离散与连续矛盾的引伸罗素所给出的反例涉及无穷集合，同样与“无限”相关.由于绕不开“无限”，数学家们通过建立一系列的公理化集合系统加以限定，以排除悖论.

13、作为自由主义者，罗素一生四次婚姻，合则婚，不合则离。这和中国传统道德是相违背的。

14、初次婚姻，初入社会

15、(考点)几何作图三大难题的历史

16、数学的应用广泛性表现在：一切科学技术原则上都可以借助于数学的知识和思想方法来解决有关的问题。数学与人的生活、社会的发展、科学技术的进步息息相关；数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础。数学是人类文化的一个重要组成部分。数学的地位已经或者正在发生着巨大的变化。近几十年来，随着现代数学的飞速发展以及计算机技术的兴起和广泛应用，许多科学家不仅将数学从自然科学中分离出来，从而确立了数学作为自然科学基础的地位，而且越来越多地投入到应用数学的前沿研究，使数学的应用成为一种手段、一种思想方法和一种思维习惯。

17、(注意！前方强西君出没！)

18、1920年，罗素48岁，罗素出狱，访问俄国，写作《布尔塞维克主义的理论与实践》。访问中国，在北京讲学一年。好像中国很多知名学者的文章中都谈到过这事。二年后，他写出《中国的文化问题》一书，对中国有四个预言：

19、创业办校、快乐人生

20、又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷于之盾，何如？”

罗素悖论引发了数学的第三次危机(3)

1、(考点)数学的基本特点

2、小说往往能浮现出现实的影子，事实上，科学研究一直在不断地经历各种理论危机。人类科学史的发展，就是基础理论一次次崩塌、再重建的过程。

3、英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人。

4、作者介绍：杨浩，新东方智慧学堂授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

5、危机希巴斯发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边永远无法用最简整数比来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但因为这一发现而把希巴斯抛入大海。

6、往期精彩必读文章(单击就可查看)：

7、罗素一生专注于哲学，专注于数学，专注于文学，专注于和平，专注于自由。每个领域都达到了人类的新高度。

8、1942年，罗素70岁，在哥伦比亚广播公司的“增长知识”节目与雅克·巴曾谈“笛卡尔的《方法谈》”，与司各特·布坎南和马克·范·多林谈“斯宾诺莎的《伦理学》”，后又与凯萨琳·安·玻特谈“卡洛尔的《艾丽丝漫游奇境记》”。在美国空中论坛谈“印度如何了？”

9、伯特兰·阿瑟·威廉·罗素

10、作为反战斗士，罗素一生有惊无险，二次入狱，一次飞行事故让他越战越强。发表了《罗素——爱因斯坦宣言》，后变成了《维也纳宣言》。

11、希帕索斯被淹死了，他发现的无理数却加入了数系，人类对数的认识扩展到了实数。用今天的眼光看来，由无理数导致的这场危机确有其深刻的原因。在此之前，自然数基础上引入了分数，没有导致危机；在此之后，又引入零和负数，甚至引入虚数都没有导致危机，为什么偏偏引入无理数人们才感到难以接受，认为是一场危机？原因没有其他，就是由引入无理数而在数系中第一次出现了暗含着悖论的稠密不可数的实无限集。

12、 第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。

13、很显然，理发师处于两难中。

14、17世纪，牛顿和莱布尼茨分别从求运动的瞬时速度和求曲线的切线两条路径，殊途同归地建立了微积分。但这时的微积分没有严格的定义，人们在实践中应用它进行计算，都能得出正确的结果，也就顾不上它自身存在着由无限小量引起的逻辑矛盾。数学的精确性不允许这种情况持续下去，最有力的发难却来自一个叫贝克莱的英国大主教。

15、毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯(Hippasu)对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。他思考了一个问题：边长为1的正方形其对角线有多长呢？一番思索演算之后，他发现这一长度既不是整数，也不是分数，“万物皆数”的信仰就此崩塌。相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里，真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸，可悲亦可叹！

16、人机交互与认知工程实验室联系方式：twhlw@1com

17、就在1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱高调宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

18、然而好景不长，20世纪初，罗素悖论等一系列集合论悖论的发现，引起了人们对集合论，甚至是数学基础的讨论。正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾动摇了它们，使得数学家们对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

19、1948年，罗素76岁，在去挪威的特隆赫姆作讲演“防止战争”的途中飞机失事，身穿笨重大衣游泳十分钟后得救。写出《人类知识》。在英国广播公司里恩讲座作头几讲，谈《权威与个人》。罗素命大！大难不死，必有后福！

20、伯特兰·罗素(Bertrand贵买Russell，1872～1970)，英国数学家、逻辑学家、哲学家。1872年5月18日出生在英格兰蒙茅斯郡特里莱赫，1901年他发现了著名的“罗素悖论”，引发了20世纪初对数学基础的危机。他与怀特海合作，于1913年完成了名著《数学原理》。提出并成为逻辑主义的代表人物。罗素还是一位蜚声国际的哲学家、政论作家和社会活动家。他的文字清新流畅，360问答受到各阶层的广泛欢迎，并于1950年获诺贝尔文学奖。

罗素悖论引发了数学的第三次危机(4)

1、罗素从小叛逆，对祖母的严厉，产生叛逆，喜欢上数学，因为数学是可以怀疑的，没有伦理内容。

2、最早使微积分严谨化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。

3、数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精准性。严谨性是数学学科的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。

4、如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，那他就要给自己刮胡子。

5、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。

6、转机出现在柯西，魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后，这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础，从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠，危机便也解除。

7、前面我们系统阐述了人类靠逻辑推理，一步一步迭代，构建起庞大的逻辑推理网络动力系统。毫无疑问，每一次逻辑推理都是严密的，但这并不能保证整个网络光滑演化，这里光滑演化的含义是系统在演化过程中始终保持自洽，新结果同老结果没有矛盾。事实上，在数学的发展史上，既出现过推理节点突破人类认识的时刻，也出现过推理范围受限的时刻，这就是网络系统演化过程中出现的三个著名奇点：三次数学危机。

8、1931年，罗素59岁，在美国巡回演讲《科学观》。同舍伍德·安德森辩论“家庭是否将消亡？”其兄弗兰克逝世，承袭爵位成为罗素伯爵第三。但是他很少在公开场合这么称呼自己，或被别人这样称呼。

9、1890年，罗素18岁，进剑桥大学三一学院，大一至大三专攻数学。获数学荣誉学位。

10、高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。

11、芝诺悖论的系统性分析：

12、1872年5月15日，罗素出生于一个贵族庄园。

13、1921年，罗素49岁，与阿鲁丝分居10年后离婚，同多拉·布莱克结婚。儿子约翰出生。天命之年，老来得子，罗素当爸爸了。这时的罗素，因为参加反战活动被校方开除，靠出版教育方面的书籍谋生。我们见到的很多心灵鸡汤是这个时期写的。出书和演讲是罗素谋生的主要方式。

14、父母双亡，祖母带大

15、18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

16、1950年，罗素78岁，获得诺贝尔文学奖。“表彰他所写的捍卫人道主义理想和思想自由的多种多样意义重大的作品”。达到了人生的巅峰！

17、1897年，罗素25岁，把大学论文进一步级思考完善，主要作品《几何学的基础》。

18、第一次数学危机称为毕达哥拉斯悖论，发生在公元前5世纪。当时在意大利半岛上有个毕达哥拉斯学派，他们信奉“万物皆数”的信条，号称任何线段长度都可表示为两个自然数之比。他们证明过有理数具有稠密性与和谐性，以及毕达哥拉斯定理(勾股定理)。毕达哥拉斯悖论是希帕索斯发现的，他发现了直角边长为1的等腰直角三角形斜边长度不是自然数之比。

19、1926年，罗素54岁，三岁的女儿把罗素培养成为一名教育家，出版《论教育：特别是幼儿教育》、《教育与善的生活》。

20、不过，落到每一条上，具体来看，也很有意义.下面我们将具体分析芝诺悖论每一条存在的问题：

罗素悖论引发了数学的第三次危机(5)

1、罗素悖论看似消除了，然而，尽管悖论可以消除，但数学的确定甚威大里稳唱分性却在慢慢丧失。现贵飞图有断宜协形石代公理集合论的许多公理，简直难说孰真孰假，但又不能把他们全部消除掉，因为它们跟整个数学是血肉相连的会江复。因此，由罗素悖论所引起的第三次数学危机只是在表面上消除了，但它仍然在以其他形式更深刻地延续着。

2、三位深度学习之父共获2019年图灵奖，学术人生令人赞叹！！！

3、罗素悖论一经提出便在当时的数学界与逻辑学界内引起了轩然大波，直接导致了第三次数学危机！

4、这个漏洞就源于英国数学家罗素提出的一个悖论：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。(绕口令。。。)

5、数学界有这样非常有趣的悖论——理发师悖论：

6、蒯因在其《悖论的方式》(1961)给出的解悖方案，后来成为主流认同的方案。

7、如此，无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零。贝克莱因此嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。

8、对于这次的风波，因为其影响重大，被称作“第一次数学危机”，而第二次数学危机的出现，则是源于微积分工具的使用。

9、喜欢数哲，思写并行

10、其中，起关键作用的就属法国数学家柯西了。

11、1938年，罗素访美并旅居到1944年。与T．V．史密斯和保尔·道格拉斯在广播上谈论《驯服经济力》问题。任芝加哥大学客座教授至1939年。

12、无理数的发现以及芝诺悖论(传送门)引发了第一次数学危机。

13、怎么证明你不是这个患奇怪色盲的人？

14、第一问：“如果下个问题是你喜欢我吗，那么这两个问题的答案是否相同？”

15、然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大事就是罗素(Russell)悖论的发现。

16、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。

17、推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群；推理用语言表达出来，一个自然人必须能够在其生命长度时间里审核其正确性，不能太长，这就是前面定义的可读性；这里要求的是一个自然人完整审核推理过程，而不是一群自然人在同一个逻辑层级上分工阅读，然后彼此互相提供证言；逻辑推理是一个迭代的过程，如同建筑工程一样，从泥土，砖头，墙壁，到楼房。承认一个前提推演新的结论，不能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，这样会造成自然人的“不可读”，两个独立的人能够分工对一次逻辑推理的正确性负责吗？答案显然是否定的，这关系到科学大厦的严密性和可靠性。

18、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.

19、他们抨击牛顿和莱布尼兹的微积分理论虽然是建立在无穷小的分析上，但是他们对无穷小量的理解与运用却十分混乱，这种对微积分合理性的抨击和质疑，使得整个微积分理论险些被推翻。

20、英国著名物理学家威廉.汤姆生(第一代开尔文伯爵，热力学温标即绝对温标的发明人，被称为热力学之父)在英国皇家学会发表了题为“在热和光动力理论上空的十九世纪的乌云”的演讲。他在回顾物理学所取得的伟大成就时说，物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。同时，他在展望20世纪物理学前景时，却若有所思地讲道：“动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了”