罗素悖论的数学表达(1)

1、基于这两种不同的数学哲学基础，面对悖论问题时，可以得出很不相同的分析方式和解决方式。一百年前出现罗素悖论的时候，数学家们普通接受“发现”的数学哲学观点，当数学出现悖论的时候，就觉得天塌下来了：我的上帝，是不是客观真理出问题了，或者上帝旨意出问题了？如果是以维氏“发明”的数学哲学观点，就觉得没有什么大不了的，根本不是客观真理出问题了，而是数学家主观观念出问题了。数学家构造的规则矛盾了，在矛盾的地方再构造一个新规则就是了。

2、有一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集，记为∅。

3、事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”(asetofeverything)，或者一个“所有集合的集合”(asetofallsets)。(二者都是自含集合。)

4、我们希望“集合”是极其灵活的事物，它们能够在数学的不同部分中起到不同作用。

5、爱因斯坦、奥黛丽赫本、球王贝利......众多名人的生日隐藏着一个共同的密码？

6、这是 ZFC 版本下的 separation：

7、我们经常始于某个直觉概念——关于某物是如何运作的——而后我们发现在自己的直觉中，存在某些奇怪和自相矛盾的东西，随后我们会想办法处理这种奇异性，并解决难题。

8、百万美金的召唤——世界七大数学未解难题，究竟有希望破解吗？

9、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。

10、许多着名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。法国数学家柯西是数学分析的集大成者，魏尔斯特拉斯则是数学分析基础的主要奠基者之他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系完成了微积分的算术化。

11、我们已经见过A的两个成员：

12、一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论)。

13、比如，自然数集，再比如，所有的未成年人，等等。这个假设看起来很容易使人信服，但这种不受任何限制的建构集合的方式，就出现了问题。

14、值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。他们存在于一门叫做元数学的分支中。元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。

15、爱上数学，玩转数学，尽在创一数学！

16、那么，S是否属于自身呢？

17、在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”

18、因为强盗掉进了自己题目的陷阱了！

19、悖论是指同一命题或推理中隐含两个对立结论，而这两个结论都能自圆其说。介绍一些非常经典的悖论。

20、M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。

罗素悖论的数学表达(2)

1、第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A∉A}。

2、不完备性定理是他在1931年提出来的，证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

3、很显然，理发师处于两难中。

4、当然，这只是罗素悖论的通俗说法。罗素悖论是关于数学中集合论的一个矛盾而提出的。

5、比如，我们有一个所有自然数的集合。

6、(换言之，上文提到的同时包括非自然数、披萨和加利福尼亚州的大而不当的集合，应该被构建为诸多下属集合：非自然数集合，披萨集合，美国诸州集合；而这些下属集合，又从属于其他更大的集合，比如数字集合，食物集合，各国州省集合。)

7、M：或者涂写一个告示：不准涂写！

8、作者介绍：杨浩，新东方智慧学堂授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

9、所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。

10、举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=ciffa=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。

11、在几何学中，我们希望给定两点之间的所有点的聚集——也就是给定两点之间的线段——成为一个集合。

12、M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧

13、毕达哥拉斯悖论：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯(米太旁登地方人，公元前470年左右)发现：一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即2的2次方根)永远无法用最简整数比(不可公度比)来表示，从而发现了第一个无理数。

14、(2)如果B不包括其自身，它将满足条件，成为它自己的成员之一；所以，B将必须包括其自身！

15、毕达哥拉斯悖论·无理数；

16、(1)“不是自然数的所有东西的集合”(注：这个巨大的集合包括“披萨”、“加利福尼亚州”，同时，也包括其自身，因为此集合当然也不是自然数)；

17、一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬)。

18、牛也有KPI？每天准时定量吃草，目标吃遍整片牧场！

19、上文，我们已经将平面中的一条线段，考虑为一个集合。

20、第一问如果回答是，两个问题答案相同，第二问也是“是”；如果第一问题回答否，两个问题答案不相同，那么第二个回答也还是“是”。

罗素悖论的数学表达(3)

1、M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。甲：这句话是错的。M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。

2、英国数学家罗素提出了与之相似的著名悖论：理发师悖论。

3、聪明的商人稍加思考就给出了回答，强盗听了之后抓耳挠腮，无奈把商人放了。

4、如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

5、再复杂点，我们还希望考虑“诸多集合的聚集”(collectionsofsets)。

6、数学虽是一门严谨的科学，但也会存在许多矛盾，数学就是在解决矛盾中不断完善的。

7、十七世纪几乎在同一时期，牛顿、莱布尼兹共同发明了建立在无穷小分析之上的微积分。

8、人类逻辑的bug？

9、这就是著名的“强盗难题”，也是一个数学悖论。

10、M：颁发一枚勋章，勋章上写着：禁止授勋！

11、加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。

12、由于这几个悖论迟迟得不到解决，康托尔承受着巨大的精神压力，最终精神失常，死在了哈勒大学精神病院里。时至今日，第三次数学危机依然没有完美解决。数学家们只是通过人为添加一些限制条件以回避悖论的出现。

13、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。

14、集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。

15、这样看来，悖论不单单会给人制造麻烦，解决它们还可以帮助我们跳脱固有思维模式的束缚，拓展全新的认知领域。

16、即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S即S1={x:x∉x}。

17、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

18、实际上在这种条件下，每一段追赶距离人所花费的时间为：9秒,0.999秒,0.00999秒,···这些数字，按其先后排列，可以构成一个无限序列，而它们的和是9090..秒。所以其实追赶的人只要跑101秒，就能超越乌龟。

19、但是集合的元素必须是确定的。所以有些概念不能构成集合，例如”美女的集合”就是一种错误的说法，因为一个人美不美会因为其他人的感受而异，不具有确定性。

20、至此，朴素集合论，似乎在别处仍然成立，所以我们似乎OK。

罗素悖论的数学表达(4)

1、在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。

2、▍编辑：圆圆姐姐▍审核：王老师

3、在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。这就是著名的“理发师悖论”。

4、小说往往能浮现出现实的影子，事实上，科学研究一直在不断地经历各种理论危机。人类科学史的发展，就是基础理论一次次崩塌、再重建的过程。

5、数学家GeorgCantor和其他早期集合论者，在如今被我们称为“朴素集合论”(naivesettheory)的框架内工作。

6、有一天，萨维尔村的理发师挂出一块招牌，上面写着：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”村民就问他：“你给不给自己理发？”

7、若S属于自身，那么S就不满足集合规定的元素性质，它不应该属于自身S；

8、我们一起看看下面的经典悖论，进行一场头脑风暴吧！

9、了解了这个理发师的困惑，这不就是外国版的“自相矛盾”吗？其实，这个“理发师悖论”很容易解决，只需要修改一下理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外。然而，罗素悖论是由集合论的基本原理严格推导得来，就不是那么容易解决的了。

10、一个图书馆要编纂一本书，这本书的内容是列出该图书馆所有不列出自己书名的书，那么，这本目录的书要不要列出自己的书名呢？

11、问题：Q∈P还是Q∉P？

12、Suhrawardi：抱歉让各位久等！本期“哲园搬运”(不叫“哲园新闻”，我们改叫“哲园搬运”更贴切，搬运国外哲学新闻和哲普文章)先来点烧脑的，以通俗易懂(不含逻辑学符号)的方式，介绍“罗素悖论”。随后会尽快更新“哲园原创”系列！

13、伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以2都能得到一个偶数，而每一个偶数除以2都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。

14、于是我们就可以把所有的集合分为两类：包括自己的集合和不包括自己的集合。

15、在形式逻辑中，同一律，矛盾律，排中律是形式逻辑的三大基本规律，罗素悖论违反了矛盾律而又得不到解决，所以对形式逻辑造成了巨大的冲击，被称为是第三次数学危机。

16、集合论：娃娃脸的大boss

17、即用公认正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中一个正确，都将推出另一个是错误的。甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。

18、搬运翻译工：Suhrawardi(剑桥大学神学博士)

19、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

20、以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！

罗素悖论的数学表达(5)

1、来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

2、在概率论(probabilitytheory)中，我们将“事件”(events)考虑为诸多结果的集合(setsofoutcomes)；所以诸多事件的聚集，也是一个大集合，由其他集合构成。

3、解决悖论往往会给人们带来新的想法。根据悖论形成的原因，可以将其分为六种类型，所记录的悖论都是常见且流传广泛的。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的飞速发展，出现了许多新的悖论。人们在孜孜不倦地探索。他们的成就将大大改变思维观念。

4、时间：2013年11月25日

5、理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡子，他就是第一类人，按照他的规矩就不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩他又应该给自己刮胡子。

6、著名的罗素悖论认为集合中的对象(元素)必须是确定的，对于任何一个对象，或者属于这个集合，或者不属于这个集合。即元素a与一个给定的集合A只有两种可能：

7、悖论就是逻辑上的自相矛盾。悖论(反论，逆论)

8、(注：线段的大集合，由线段构成；而每个线段又是两点之间所有点的小集合。)

9、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

10、如果哲学家说的是对的，那么同为克里特岛的人，哲学家就在说谎，他的话就是错的；反之，假如哲学家说的不对，那么克里特岛的人都不说谎，他的话就是对的。

11、有时候，数学的问题，可以在数学之外得到解决。

12、考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。

13、集合A不属于集合B用数学符号表示为：A∉B。

14、这时理发师就陷入了矛盾中：他要是给自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发；如果他不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人，他应该给自己理发。

15、时间悖论最早是在科幻小说中提到的。这个悖论的必要前提是：人类可以随心所欲的控制三维空间之后的“第四维”——时间，能够回到过去或者将来。在这个前提下，有多种“时间悖论”的表达方式。

16、理发师的广告词是：“村里所有热她律硫不自己理发的男人都由我给他新们理发，我也只给这些来自人理发”。”矛盾在于：他能不能给他自己理发呢？状如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发，而如果他给自己理发呢？他又属于“给自己理发的人”，他就不该给自己理发。

17、考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。

18、同时，我们对于下述建构也要谨慎得多，比如“不是自然数的‘所有东西’的集合”(thesetofeverythingthatisnotanaturalnumber)。

19、那么，如何解决罗素悖论呢？很简单，对于“R是否属于R”此无定义处进行重新定义，属于不属于都可以，或者说此处没有意义也可以，看哪种定义比较适用。数学家构造的理论出现矛盾了，就像人们讲话出现了矛盾了一样，解决的方法很简单：“对不起，我没有注意到这里有矛盾，我重新说明一下，此处应该是如此如此……”

20、不妨设所有不包括自己的集合组成集合A：